Haqiqiy sonlar va ular ustida arifmetik amallar. Taqribiy hisoblashlar

Slayd 1

Haqiqiy sonlar va ular ustida arifmetik amallar. Taqribiy hisoblashlar

Slayd 2

Reja:
1
Son tushunchasi haqida.
2
Musbat sondan kvadrat ildiz chiqarish qoidalari.
3
Sonlarni yaxlitlash qoidalari.
4
Absolyut va nisbiy xato.
5
Taqribiy hisoblashlar.

Slayd 3

Son tushunchasining taraqqiyotida navbatdagi bosqichlar kompleks sonlarning kashf qilinishi va natural son tushunchasi asosida haqiqiy sonlar nazariyasining rasmiy yaratilishi bo‘ldi. XV asrda samarqandlik olim al-Koshiy o‘nli kasrlarni fanga kiritdi. Bu yangilik Yevropa matematiklariga noma’lum qolgan bo‘lsa kerak, faqat 1584-yilda niderlandiyalik matematik va injener S. Stevin bu kashfiyotni qayta ochdi. Butun va kasr sonlar (musbat va manfiy) hamda nol umumiy ratsional sonlar nomini oldi.

Slayd 4

Slayd 5

Natural sonlar to‘plamini butun sonlar to‘plamigacha kengaytirish va butun sonlar to‘plamini ratsional sonlar to‘plamigacha kengaytirish izchillik bilan amalga oshirish mumkin. Barcha ratsional sonlar to‘plami qo‘shish, ko‘paytirish, ayirish va bo‘lish (nolga bo‘lishdan tashqari) amallariga nisbatan yopiq to‘plamdir – ikkita ratsional sonning yig‘indisi, ko‘paytmasi, ayirmasi va bo‘linmasi yana ratsional son bo‘ladi. Biroq ratsional sonlar to‘plamida yechimga ega bo‘lmaydigan algebraik va geometrik masalalar ham mavjud ekan. Jumladan ratsional sonlar to‘plamida yechimga ega bo‘lmaydigan masalalardan biri musbat butun sondan ildiz chiqarish amalidir.

Slayd 6

Slayd 7

Barcha haqiqiy sonlar to‘plami ham barcha ratsional sonlar to‘plamining tabiiy kengaytmasi sifatida hosil qilinishi mumkin. Biroq natural sonlar to‘plamini ratsional sonlar to‘plamigacha va butun sonlar to‘plamini ratsional sonlar to‘plamigacha kengaytirishning ancha sodda usullaridan farqli o‘laroq barcha ratsional sonlar to‘plamini barcha haqiqiy sonlar to‘plamigacha kengaytirish ancha murakkab ish. Haqiqiy sonlarning matematika nuqtai nazaridan qat’iy nazariyasi o‘tgan asr o‘rtalaridagina Dedekind va Kantor asarlarida rivojlandi va uni yaratishda matematik analizning bir qator juda nozik natijalaridan foydalanilgan edi.

Slayd 8

Oddiy kasrlar va ularning asosiy xossalarini, kasrlarni qo‘shish va ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish, kasrlar ustida amallar tartibi, qo‘shish va ko‘paytirishning asosiy xossalarini maktabda o‘quvchilik davringizdayoq o‘rgangansiz. Yoki o‘nli kasrlar va ularning xossalari, o‘nli kasrlar ustida amallar, oddiy kasrni o‘nli kasrga aylantirish usullari bilan ham tanishsiz.
Endi ratsional sonlar ustida amallarning ayrim qoidalari va natijalarini sizga eslatib o‘tmoqchiman.

Slayd 9

Bir xil ishorali ikkita sonni qo‘shish uchun ularning absolyut qiymatlarini qo‘shib, yig‘indining oldiga ularning ishorasini qo‘yish kerak. Qarama-qarshi ishorali ikkita sonni qo‘shish uchun, absolyut qiymati kattasidan kichigini ayirish va ayirmaning oldiga absolyut qiymati katta bo‘lgan sonning ishorasini qo‘yish kerak.
1-natija. Qarama-qarshi ikki sonning yig‘indisi nolga teng va aksincha, yig‘indisi nolga teng bo‘lgan ikki son o‘zaro qarama-qarshi sonlar bo‘ladi.
2-natija. Qo‘shiluvchilardan biri nolga teng bo‘lsa, yig‘indi ikkinchi qo‘shiluvchiga teng bo‘ladi.

Slayd 10

Ayirish qoidasida bir sondan ikkinchisini ayirish uchun, ayriluvchiga qarama-qarshi sonni kamayuvchiga qo‘shish kerak bo‘ladi.
Ko‘paytirish qoidasida bir xil ishorali ikki sonning ko‘paytmasi ularning musbat ishora bilan olingan absolyut qiymatlarining ko‘paytmasiga, har xil ishorali ikki sonning ko‘paytmasi bu sonlarning manfiy ishora bilan olingan absolyut qiymatlarining ko‘paytmasiga teng.
1-natija. Bir necha sonni o‘zaro ko‘paytirganda manfiy ko‘paytiriluvchilar soni juft bo‘lsa, ko‘paytma musbat, manfiy ko‘paytiriluvchilar soni toq bo‘lsa, ko‘paytma manfiy bo‘ladi.
2-natija. ko‘paytiriluvchilar kamida bittasi nolga teng bo‘lsa, ko‘paytma nolga teng bo‘ladi.

Slayd 11

3-natija. Nolning har qanday (noldan farqli) songa nisbati nolga teng. Har qanday sonning nolga nisbati mavjud emas. Nolning nolga nisbati aniqmaslikdir.
Bo‘lish qoidasi. Bir sonni ikkinchi songa bo‘lish uchun bo‘linuvchining absolyut qiymatini bo‘luvchining absolyut qiymatiga bo‘lib, ular bir xil ishorali bo‘lsa, bo‘linma oldiga plyus (+), har xil ishorali bo‘lsa, bo‘linma oldiga minus (-) ishora qo‘yiladi.

Slayd 12

Slayd 13

2-ta’rif. Kvadrat ildizni topish uchun bajariladigan amal kvadrat ildiz chiqarish deb ataladi. Kvadrat ildiz chiqarish, kvadratga ko‘tarish amaliga teskari amaldir. Kvadratga ko‘tarish amalida son ma’lum bo‘lib, uning kvadratini topish talab qilinsa, kvadrat ildiz chiqarishda sonning kvadrati ma’lum bo‘lib, sonning o‘zini topish talab qilinadi.

Slayd 14

Slayd 15

Endi siz uchun qiziqarli va kerakli bo‘lgan musbat sondan kvadrat ildiz chiqarishning ajoyib usulini o‘rganamiz. Bu usul kvadrat ildiz chiqarishning ustuncha usuli bo‘lib, kvadrat ildiz chiqarishda sizga qulaylik tug‘diradi degan umiddaman.
Qoidasi quyidagicha: Butun sondan kvadrat ildiz chiqarish uchun, uni o‘ngdan chapga qarab har birini ikki raqamdan qilib granlarga ajratiladi. So‘nggi gran bitta raqamli bo‘lishi ham mumkin.

Slayd 16

Ildizning birinchi raqamini topish uchun birinchi grandan ildiz chiqariladi. Ildizning ikkinchi raqamini topish uchun birinchi grandan ildizning birinchi raqamining kvadrati ayiriladi, qoldiq yoniga ikkinchi gran tushiriladi va hosil bo‘lgan sonning o‘nliklar soni ildiz birinchi raqamining ikki baravariga bo‘linadi; hosil bo‘lgan butun son sinab ko‘riladi.
Sinash quyidagicha bajariladi: qoldiqdan chapda o‘tkazilgan tik chiziqning chap tomoniga topilgan ildiz sonining ikki baravari yoziladi va uning o‘ng tomoniga sinalayotgan raqamni yozib, hosil bo‘lgan sonni sinalayotgan raqamga ko‘paytiriladi. Ko‘paytma qoldiqdan katta chiqsa, sinalayotgan raqam yaramaydi, undan 1 ta kichik raqamni tekshirib ko‘rish kerak bo‘ladi.

Slayd 17

Slayd 18

1) 2)

Slayd 19

Hamma sonlar ham har doim ham butun son bo‘lavermaydi.

Slayd 20

2) 0,001 gacha aniqlikda kvadrat ildiz chiqaring

Slayd 21

Slayd 22

Slayd 23

Slayd 24

Slayd 25

Slayd 26

Yuqorida sonlarni yaxlitlash natijasida taqribiy sonlar hosil bo‘lishiga doir misollar keltirilgan edi. Buyumlarni sanashda, har turli miqdorlarni o‘lchashda va hisoblash natijasida aniq yoki taqribiy sonlar hosil bo‘ladi. Aniq yoki taqribiy sonlar chiqadigan uchala holni ayrim ayrim ko‘rib chiqamiz.

Slayd 27

Slayd 28

Taqribiy sonni kami bilan olganda, tashlanadigan hamma raqamlar o‘rniga nollar qo‘yamiz; taqribiy sonni ortig‘I bilan olgan esa tashlanmaydigan qiymatli raqamlardan o‘ng tomondagisini 1 ta orttiramiz. Biron sonni taqribiy songa almashtirganda, uning taqribiy qiymatlaridan qaysi birida xato kamroq bo‘lsa o‘shanisini olish kerak.
Endi quyidagicha qoida kelib chiqadi:
Sonning absolyut qiymati bilan taqribiy qiymati orasidagi farq (ayirma), taqribiy sonning absolyut xatosi deyiladi.

Slayd 29

Slayd 30

O‘lchash vaqtida chiqqan absolyut xato o‘lchash qanday birliklar bilan bajarilgan bo‘lsa, o‘sha birliklardagi ismli son ifoda qilinadi. Absolyut xatoning o‘lchash natijasida hosil bo‘lgan songa nisbati bilan ifoda qilingan xato, o‘lchashning sifatini xarakterlaydi.
Taqribiy sonning oxirgi raqamiga qarab, sonning absolyut xatosi to‘g‘risida hukm yuritish mumkin.

Slayd 31

Slayd 32

Slayd 33

Slayd 34

Slayd 35

Slayd 36

Slayd 37

Taqribiy sonlarni o‘rganganimizda ishonchli va ishonchsiz raqamlarga duch kelamiz. Sonning qiymatli raqamlari deb, uning chap tomondan sanaganda noldan farqli birinchi raqamidan boshlab hamma raqamlariga aytiladi. Masalan, 17 sonida 2 ta qiymatli raqam , 0,03 sonida bitta qiymatli raqam bor. Taqribiy sonlarda qiymatli raqamlar sonining nechtaligi uning yaxlitlanishiga bog‘li. Masalan, 1503 sonni o‘nlar xonasigacha yaxlitlasak 1500 hosil bo‘lib, bu taqribiy sonda uchta (1, 5 va 0) qiymatli raqam bo‘lib, bitta (nol) qiymatsiz raqam bo‘ladi.

Slayd 38

Agar 1503 sonni yuzlar xonasigacha yaxlitlasak, hosil bo‘lgan 1500 sondagi ikkala nol ham, sonning aniqlik xonasida bo‘lmagani uchun, qiymatsiz raqam bo‘ladi. Demak, taqribiy butun sonning qiymatli raqamlarini aniqlash uchun bu taqribiy son qanday aniqlikda olinganini, ya’ni uning qaysi xonagacha yaxlitlanganini bilish kerak bo‘ladi.
Ta’rif: Agar taqribiy sonning absolyut xatosi birorta xona birligining yarmidan katta bo‘lmasa, bu sonning o‘sha xonasidagi raqami ishonchli raqam deb ataladi.

Slayd 39

Slayd 40

E’TIBORINGIZ UCHUN RAHMAT!
Bizni ijtimoiy tarmoqlarda kuzatib boring!

Slayd 41

Foydali havolalar

🛒 Barcha taqdimotlar | 📰 Yangiliklar | ℹ️ Biz haqimizda